En este modelito de Barbier...

Necesito una forma funcional para f y para h que hagan sentido. Ya tengo el código en GAMS, ya hice un par de pruebas obteniendo políticas óptimas (aunque aún no sé con qué tanto sentido económico), y quiero obtener resultados visibles y soluciones analíticas para ver cómo se ve el problema con horizonte infinito. Todo ello para analizar cómo depende la política óptima de conservación de suelos (el gasto en z_2 y en z_1en el modelo de Barbier) de los parámetros tecnológicos y de comportamiento, y para tener bien entendido el referente teórico ideal para comparar métodos de evaluación de los costos de la erosión que se pueden implementar (ie., perdida de productividad y costo de reemplazo)...

Pero por ahora, busque y busque,  me siento como Mafalda en su problema con el tonelero.

Tener el pastel y comérselo

Simulando una economía en la que se puede hacer crecer el pastel pa luego comérselo

Todo esto en el contexto de simular en GAMS el modelito de conservación de suelos del que hemos estado hablando. Cretegny y Rutherford tienen este documentito que resuelve en GAMS varios ejercicios del Kamien y Schwartz, mi libro de elección de optimización dinámica. Entonces el caminito es relativamente sencillo: resuelve analíticamente los problemas, y luego ver cómo se implementa el asunto en GAMS.

Veamos un típico Ramsey sencillito de maximizar el consumo sujeto a una indentidad macro (producto = consumo + inversión; el producto se describe con una función lineal sobre el capital (ik) en un horizonte finito. O sea,

Aplicando Hamilton (Kamien lo resuelve con variaciones) se llega a la siguiente solución explícita:

Asumamos r=0.03; i=0.04; a=0.5, T=60, ko=1, que son los valores que ponen Cretegny y Rutherford y que no me creo nadita (¿de cuando acá los individuos son más pacientes que la sociedad?)  Entonces

Bajamos la versión gratis del GAMS, ponemos el siguiente código de Cretegny y Rutherford y BAM!
  1  sets t time periods / 0*60 /
  2   decade(t) decades / 10, 20, 30, 40, 50 /
  3   tfirst(t) first period of time
  4   tlast(t) last period of time;
  5   
  6   tfirst(t) = yes$(ord(t) eq 1);
  7   tlast(t) = yes$(ord(t) eq card(t));
  8   
  9   scalars r discount rate / 0.03 /
 10   i interest rate / 0.04 /
 11   a utility coefficient / 0.5 /;
 12   
 13   variables c(t) consumption level
 14   k(t) capital stock
 15   kt terminal capital stock
 16   u utility function;
 17   
 18   equations market(t) market clearance in period t
 19   market_t terminal market clearance
 20   const_kt terminal capital constraint
 21   utility objective function definition;
 22   
 23   market(t).. k(t) - k(t-1) =e= 1$tfirst(t) + i*k(t-1) - c(t-1);
 24   
 25   market_t.. (kt - sum(tlast, k(tlast))) =e= sum(tlast, i*k(tlast) - c(tlas
     t));
 26   
 27   const_kt.. kt =e= 0;
 28   
 29   utility.. u =e= sum(t, (1/(1+r))**((ord(t)-1)) * c(t)**a);
 30   
 31   model ramsey / all /;
 32   
 33   c.lo(t) = 0.001;
 34   
 35  solve ramsey using nlp maximizing u;
Obtenemos las políticas óptimas de consumo e inversión. En esta economía, la felicidad es mayor cuando se invierte primero, haciendo crecer al stock de capital, y luego se tira todo por la ventana, comiéndose al capital tambien, ante la inminencia del Armaggedon.